LA SUITE DE FIBONACCI

1. Le rangement
    Nous allons utiliser les fractions associées aux ampoules pour étudier la disposition des ampoules autour de la cardioïde principale.

Les ampoules sont rangées exactement dans l'ordre des rationnels: 1/6=1.666  ;  1/5=0.2 ;  1/4=0.25  ;  1/3=0.333  ;  3/8= 0.375  ;  2/5= 0.4  ;  3/7=0.428 .
En fait il y a un unique rationnel p/q irréductible pour chaque rationnel compris entre 0 et 1, et ces fractions sont disposées autour de la cardioïde dans l'ordre naturel , en commençant de la corne et en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La disposition est celle de l'intervalle [0;1] , mais ici chaque nombre p/q est clairement identifié : q est la période de l'ampoule, c'est à dire le nombre d'antennes et p est le rang du plus petit rayon.


 

Vous pouvez regarder ces différentes ampoules en plus gros :


 

     
    AMPOULE 1/2
    (le 2 est un peu arbitraire il initialise la suite)


 


 


 
 
 

    AMPOULE 1/3
 


 


 
 
 
 


 
 


 

    AMPOULE 2/5


 


 

    AMPOULE 3/4


 
 
 


 




AMPOULE 3/5


 




AMPOULE 3/6

2. L'addition de FAREY
    Le fait le plus intrigant des ampoules primaires est illustré ci dessous :

Au-dessus de la plus grosse ampoule nous voyons 2/5, à sa gauche 1/2 , à sa droite 1/3 ce qui correspond à l'addition de Farey : 1/2@1/3=2/5.
De même dans la figure 10 la grosse ampoule située entre 1/2 et 2/5 est l'ampoule 3/7 soit 1/2@2/5=3/7.


 

Ce type d'addition est appelée l'addition de Farey, bien connue en théorie des nombres. Nous pouvons fabriquer grâce à elle un triangle semblable au triangle de Pascal  donnant tous les rationnels de [0;1].
 

TRIANGLE DE PASCAL
1 1        
1 2 1      
1 3 3 1    
1 4 6 4 1  
1 5 10 10 5 1


 

TRIANGLE DE FAREY
0/1 1/1        
0/1 1/2 1/1      
0/1 1/3 2/3 1/1    
0/1 1/4 3/6=2/4 3/4 1/1  
0/1 1/5 4/10=2/5 6/10=3/5 4/5 1/1


 

3. La Suite de Fibonacci
Appelons 0/1 la corne de la cardioïde. La plus grosse ampoule entre la 0/1 et la 1/2 est la 1/3. La plus grosse ampoule entre la 1/2 et la 1/3 est la 2/5. La plus grosse ampoule entre la 1/3 et la 2/5 est la 3/8 . La plus grosse ampoule entre la 2/5 et la 3/8 est la 5/13 .
On génère ainsi la suite de Fibonacci avec les dénominateurs : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21

N'est ce pas fascinant !!!