SPIRALES

Spirales logarithmiques

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Une spirale logarithmique a pour équation en coordonnées polaires r = exp(kt) où t est l'angle polaire et r le rayon vecteur. En coordonnées cartésiennes cela nous donne pour  un  point M de la spirale :    x=exp(kt)*cos(t)    et pour les coordonnées du vecteur vitesse tangent en M à la spirale:    y=exp(kt)*sin(t)    V: exp(kt)(k*cos(t)-sin(t))        exp(kt)(ksin(t)+cos(t))    Calculons de deux façons le produit scalaire des vecteurs OM et v afin  de calculer l'angle entre la tangente définie par V à la spirale et le rayon vecteur OM :    OM=exp(kt) ; norme de V = exp(kt)*rac((kcos(t)-sin(t))²+((ksin(t)-coc(t))²)=exp(kt)*rac(k²+1)    Or le produit scalairer de vecteur OM par vecteur V est : k*exp(2kt)    Il s'en suit que : cos(angle entre V et le rayon vecteur OM)=k/rac(k²+1)=constante.    C'est cette propriété qui caractérise les spirales logarithmiques :

L'angle  entre le rayon vecteur OM et la tangente en M est constant.
A chaque valeur de k correspond une spirale particulière.
Descartes a nommé toutes ces spirales équiangles, car l'angle avec lequel le rayon vecteur coupe la courbe est constant. Comme le rayon vecteur augmente en progression géométrique quand son angle polaire augmente en progression arithmétique on l'a aussi appelé spirale géométrique.
 
  La nature est prodigue de spirales équiangles. Mathématiciens,zoologistes,paléonthologistes,artistes et poètes, tous ont étés intrigués ou émerveillés par cette figure : voir phi dans la nature.
 

 

SPIRALES CONSTRUITES A PARTIR DE LA SECTION D'OR   On peut construire à partir du rectangle d'or ou du triangle d'or deux spirales qui approchent la spirale tracée en premier . Cette spirale est appelée spirale d'or.  Les deux constructions reposent sur la particularité qu'ont les deux figures de générer une suite infinie de dessins semblables à eux mêmes.

 
 

Pour le rectangle d'or : si on construit à l'intérieur un carré, le nouveau rectangle obtenu à l'intérieur du premier, a toujours le format d'or : phi.  Le processus peut donc se poursuivre. Il suffit alors de tracer les quarts de cercles définis par les carrés successifs pour obtenir une spirale. Si on note a la longueur du premier arc de cercle,le deuxième voit sa longueur réduite par phi. Cette longueur est a*(racine(5)-1)/2 et ainsi de suite. La longueur de la spirale au bout de n itérations de ce processus est  donc:    L=a*(1+t+t²+....tn)=a*(1-tn+1)/(1-t) d'après la formule sur les suites géométriques. Ici la raison t de cette suite qui est le facteur de réduction qui permet de calculer les longueurs des quarts de cercles successifs est : t=1/phi=(racine(5)-1)/2=0,618. En passant à la limite on obtient L=a/(1-t)=2a/(3-racine(5)). On a ici un exemple simple de ligne infinie mais de longueur finie.

 

Le triangle d'or d'angle au sommet 36° est quand à lui coupé en deux triangles d'or par la bissectrice d'un des angles à la base qui mesurent 72°. Le triangle CBX est alors un nouveau triangle d'or semblable au précédent. Le processus peut se poursuivre indéfiniment. Il reste alors à tracer les arcs de cercles définis par ces triangles d'or successifs . Ils forment une spirale qui réalise une bonne approximation d'une spirale équiangle.

 

AUTRES DESSINS   Cette propriété du triangle d'or se retrouve dans l'oeuf d'or qui nous fournit une suite d'œufs emboîtés à partir de la construction initiale. Pour cela on construit d'abord un triangle isocèle O1A1C1 d'angle au sommet 72°. On trace ensuite les deux triangles d'or O1A1B1 et  O1C1D1  qui sont symétriques par rapport  à  (O1P) , P étant le point d'intersection de (A1B1) et (C1D1) . On trace ensuite l'arc de cercle d'entrée en P joignant A1 et  C1 . On prolonge cet arc par l'arc de cercle centré en  B1 et partant de A1. On le continue jusqu'à atteindre la demi droite [C1O1). On procède de même par symétrie autour de (O1P).    On termine l'œuf en traçant l'arc de centre O1.    Les œufs intérieurs sont construits de la même façon, mais on se sert de nombreuses droites déjà tracées.    Le dessin se poursuit de lui même très facilement.

 

Le pentagone fournit de la même façon très naturellement une suite de pentagones emboîtés.   On pourrait penser que cette descente infinie de figures emboîtées soit une particularité du nombre d'or. Il n'en est rien comme nous le montrent les rectangles au format commercial. Un rectangle a le format commercial si le rapport de sa longueur sur sa largeur est racine de 2 . Il est tel qu'un tel rectangle coupé en deux par le milieu forme encore deux rectangles au format commercial. C'est pour cela que les feuilles A0 , A1 , A2 , A3 , A4 ont toutes ce format. Bien sûr le tracé des arcs de cercle précédents n'est plus possible :