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  Toutes ces figures sont liées au nombre d'or et génèrent des suites de dessins semblables au dessin initial.

1. Le pentagramme
 
  On pense que c'était le signe de ralliement des Pythagoriciens. Le pentagramme était considéré par les anciens comme un symbole universel de perfection et de beauté. On le retrouve dans des créations artistiques, sur certaines monnaies, dans les rosaces des cathédrales, sur des drapeaux et les insignes de certaines sectes.

 
 

2. Triangles d'or    Ce sont des triangles dont le rapport des longueurs des côtés est phi=le nombre d'or.  Il y en a deux :       Dans le cas 1 : BC/AB=phi=1,618.  Dans le cas 2 : AB/BC=phi=1,618.  Pour avoir la démonstration de cette propriété cliquer ici.

 Si l'on prend le triangle 2 et que l'on coupe ce triangle par une bissectrice, on obtient 2 nouveaux triangles; ce sont encore des triangles d'or. On dit que l'un est le gnomon de l'autre.
Ce processus peut se répéter, les triangles deviennent de plus en plus petit et semblent s'enrouler autour d'un point limite. Ce point est à l'intersection de la médiane CM du triangle ABC et de la médiane DN du triangle BCD.

3. Phi et le pentagone    Propriété 1 : Le côté du pentagone étoilé est phi fois le côté du pentagone convexe.       AB/AD=phi=1,618 (le nombre d'or)  Dans le triangle isocèle OCB les angles à la base sont égaux. Donc l'angle OBC=1/2(180°-72°)=54°. De même pour le triangle isocèle BOD. Donc DBO=54°. Donc DBC=108°.  Par conséquent DB=BC et DBC=108°, donc le triangle DBC est un triangle d'or de type 1. Il s'en suit d'après la propriété de ce type de triangle que : DC/BC=phi=1,618=le nombre d'or.  .

Propriété 2 : Chacun des 5 côtés partage 2 autres côtés selon le nombre d'or     Dans le triangle ABC (BC) est parallèle à (IJ). D'après le théorème de Thalès on a donc : AB/IA=BC/IJ . Donc AB/BC=IA/IJ .D'après la propriété 1 : AB/BC=phi donc IA/IJ=phi . Or IJ=IK . Donc on a aussi : IA/IK=phi puis en projetant sur (AC) AH/HC=phi .A,I et K forment un division dorée (A , H et C aussi).  D'aprés la propriété fondamentale de la division dorée on a aussi AK/AI=phi. Donc un côté du pentagramme est partagé par le petit pentagone selon le nombre d'or.

4. Côtés du pentagone et du décagone.     On note  le côté du pentagone étoilé alias le pentagramme  c le côté du pentagone convexe  d le côté du décagone  R le rayon du cercle  On a les relations suivantes : e/c=R/d=phi=1/2(1+rac5)    e=R/2rac(10+2rac5)    c=R/2rac(10-2rac5)  d=R/2(rac5-1)   Pour avoir la démonstration cliquer ici

5. La méthode de construction de Ptolémée   On prend deux diamètres perpendiculaires du cercle de centre O. Soit B le milieu d'un rayon, on trace le segmentAB. A l'aide du compas, on prend la longueur AB et on la reporte de l'autre côté de B sur le diamètre. On obtient le point C. Toujours à l'aide du compas, on reporte la longueur AC à partir de A sur le cercle. On a le côté du pentagone  convexe régulier inscrit.    Pour avoir la justification, cliquer ici.