LE TRIANGLE DE PASCAL

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   Pascal (1623-1662) ,né à Clermont-Ferrand, est aussi célèbre pour son œuvre littéraire que pour ses travaux scientifiques. Il a travaillé , en autre, au développement de (a+b)ⁿ. Les coefficients du développement de ce binôme sont donnés dans le triangle qui porte son nom.
 

Chaque  nombre du tableau est la somme du nombre situé immédiatement au dessus et du nombre situé juste avant ce dernier. Ainsi : 10=4+6.
Chaque ligne donne les coefficients à écrire pour développer (a+b) élevé à la puissance correspondant au numéro de la ligne considérée.
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a+b)⁴=a⁴+4a³b+10a²b²+5ab³+b⁴
_{et ainsi de suite. Donnons par exemple le développement de (a+b)}^{7
Il correspond à la dernière ligne du tableau.}
(a+b)⁷=a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷. De la gauche vers la droite l'exposant de a diminue alors que celui de b augmente, la somme de ces exposants fait donc 7 dans chaque terme.

Les nombres de ce triangle sont très utilisés en dénombrement et en probabilité. Le nombre situé à l'intersection de la ligne n et de la colonne p donne le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n.
Ainsi 10 est le nombre de choix de 2 éléments parmi 5. On écrit c₅²=10.

Si on somme  diagonalement les nombres du triangle de Pascal on obtient la suite de Fibonacci.
 
 

Pour plus de clarté nous disposons le tableau comme suit. Nous faisons alors les sommes verticalement.
 
 

Attention il faut écrire les lignes suivantes pour trouver les termes manquants. Cette propriété est due à la construction même du triangle de Pascal : chaque terme est la somme des deux nombres situés juste au dessus.
 

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