L'ENSEMBLE DE MANDELBROT ET LA SUITE DE FIBONACCI
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La suite de Fibonacci se retrouve dans le merveilleux ensemble de Mandelbrot.
Benoît
Mandelbrot est né en Pologne en 1924.
Sa famille émigra en France en 1936. Son oncle Szolem Mandelbrot,
professeur de mathématique au Collège de France eut la responsabilité
de son éducation. Il l'initia aux études du mathématicien
Julia, ce qui l'amena à fonder sa géométrie sur les
fractals et à montrer sur l'ordinateur IBM du centre de recherche
où il travaillait les plus beaux fractals connus aujourd'hui.
L'Ensemble
de Mandelbrot
Découvert
en 1980 par Benoît Mandelbrot, c'est sans aucun doute l'objet mathématique
le plus beau et le plus complexe de ce siècle, malgré la
simplicité de sa définition.
On
considère la fonction Fc de la variable complexe qui
à z associe Fc (z)= z2 + c où c est
une constante complexe fixée. On calcule la suite des itérées
de cette fonction à partir de 0.
z0 =0
; zn+1= Fc (zn) =zn²
+c .
Nous obtenons ainsi successivement
: z0 =0 ; z1 = c ; z2=c² +c
; z3= (c²+c)²+c ; z4=(c²+c)²+c)²+c
...
Cette suite s'appelle
l'orbite critique de c .
L'ensemble de Mandelbrot
est formée de tous les c dont l'orbite critique est bornée.
On note M l'ensemble
de Mandelbrot.
Par exemple c=i est dans
M (l'ensemble de Mandelbrot).
En effet son orbite critique
est : 0 ; i ; -1+i ; -i ;-1+i ; -i ....On a un cycle de période
2 .
Mais c =2i n'est pas
dans M. En effet son orbite critique est :
0 ; 2i ; -4+2i
; 12-14i ; -52-334i ...Il est aisé de voir que cette suite
tend vers l'infini.
On remarque que cet ensemble
ressemble grossièrement à une cardioïde.
(Cliquer ici pour avoir son équation).
En raison de la diffusion
de programmes informatiques affichant M sur des écrans d'ordinateurs,
des milliers de personnes dans le monde ont voyagé dans l'ensemble
de Mandelbrot, et on peut dire qu'aucun n'a fait le même voyage.
Certains ont découvert des régions d'une surprenante beauté,
d'îles nouvelles, de caps prodigieux ,des spirales étranges,
des disques répétitifs portant sur leur frontière
d'autres disques plus petits, et des images réduites de M lui même.
Si on fait un zoom
sur une région la complexité de cette région apparaît
, nous rapprochant, encore l'image fait apparaître de nouveaux détails
...et ainsi de suite.
LES
ENSEMBLES DE JULIA
Julia
Gaston
Julia est né en 1893 à Sidi Bel
Abes en Algérie, il meurt en 1978. Soldat dans la première
guerre mondiale, il perdit son nez et fut obligé de porter toute
sa vie un masque en cuir. A l'hôpital il poursuivit ses recherches
de mathématiques.
En
1918, âgé de 25 ans, Julia publie son mémoire sur l'itération
des fonctions rationnelles. Ses travaux reçurent le grand
prix de l'Académie des Sciences et firent de lui un des plus célèbres
mathématiciens de ces années. Ses travaux reprirent un grand
intérêt avec les expérimentations de Benoît
Mandelbrot sur ordinateur.
Gaston Julia étudie
les itérations de la fonction Fc définie pour
tout complexe z complexe par : Fc (z)=z²+c où
c est un complexe fixé. Ayant choisi la valeur initiale z0
appelée graine, on obtient la suite des itérées de
z0 par Fc (ou orbite de z0 ) :
z1= z0
²+c ; z2=z1²+c=(z0²+c
)²+c ; z3=z2²+c=((z0
²+c )²+c )²+c ....zn+1= Fc(zn)=zn²+c
Selon le choix de c,
cette suite est bornée ou non. On nomme l'ensemble de Julia associé
à c l'ensemble des complexes z0 dont l'orbite est bornée.
Cet ensemble est noté Jc.
Par exemple J0
est le cercle disque unité fermé car:
si z0=r
eit alors zn=r2^n ei^2nt .Donc
lorsque r>1 l'orbite s'échappe vers l'infini ,si r=1 l'orbite reste
sur le cercle unité, si r<1 l'orbite tend vers 0.
L'étonnant
est l'extrême diversité des formes obtenues suivant le choix
de la graine c.
Regardant l'ensemble de
Mandelbrot, nous voyons une cardioïde principale, sur laquelle se
développent des ampoules ou des espèces de bulles.
D' abord une grosse à
gauche, puis d'autres attachées à la
cardioïde que nous appellerons ampoules primaires.
Chaque ampoule comporte
une grande antenne qui lui est directement attachée. De cette antenne
partent un certains nombre de rayons. Le nombre de ces rayons est la période
de l'ampoule.
Une ampoule de période 9
Une ampoule de période 19.
Autre
façon de compter la période des ampoules :
Il
y a une autre façon de compter cette période. Choisissons
c à l'intérieur d'une ampoule et programmons Jc.
Jc est en un seul morceau (connexe). Mais il y a certains
points de Jc qui ont la propriété de séparer
Jc en plusieurs morceaux si on les retire. En fait, lorsqu'un
tel point est enlevé, Jc est chaque fois séparé
en n morceaux (n est toujours le même nombre). Ce nombre n
est la période de l'ampoule.
On
a ici une période égale à 4.
