La  Madone du Belvédère (1506, par Raphaël )
 

Le groupe, ramassé en une composition bien équilibrée, s'inspire de la Sainte Anne de Léonard de Vinci. Au mystère de l'œuvre de Léonard s'est substitué un enchaînement concentrique de gestes et de regards affectueux.

 Vous allez démontrer en suivant les questions du problème ci dessous que J divise le segment AC suivant le nombre d'or ainsi que Y.

Préliminaire
ABC et A'B'C' sont des triangles d'isobarycentres respectifs  G et G'.Établir que : Vecteur AA'+vecteur BB '+vecteurCC'=3GG'.

1°) Étude du minimum de l'aire d'un triangle.
Soit A,B,C trois points non alignés et soit k un réel différent de 0 et de -1 et positif.
a) Soit I le barycentre de (B;1) et (C;k) , J le barycentre de (C;1) et (A;k) , K le barycentre de (A;1) et (B;K).
Montrer que les triangles IJK et ABC ont le même isobarycentre G.
b) Montrer que l'aire du triangle AJK est ak/(1+k)² ( on note BC=a).
c) Soit f(k) l'aire l'aire du triangle IJK. Exprimer f(k) en fonction de k et de a . Montrer que f(k) est minimum si et seulement si g(k) est maximum, g(k) étant k/(1+k)².
Étudier le sens de variation de  g sur R+* et donner une condition nécessaire et suffisante sur k pour que le triangle IJK soit d'aire minimum. Que sont alors les points IJK?

2°) Étude du tableau de Raphaël : La Madone du Belvédère.
On suppose que  ABC est un triangle équilatéral direct d'isobarycentre O. Soit r la rotation de centre O et d'angle 120°.

Étude préparatoire
a) Montrer que IJK est un triangle équilatéral direct.
b) La droite (AI) coupe (BJ) en U, (BJ) coupe (CK) en V, (CK) coupe (AI) en W.
Quelles sont les images par r des droites (AI), (BJ), (CK), des points U, V, W ?
Qu'en déduisez vous pour le triangle UVW et pour son isobarycentre?
c) Donner les coefficients permettant d'exprimer U comme barycentre de A, B, C.
d) Dans le triangle UVW la médiane relative à [UV] coupe (BC) en X.
    Dans le triangle UVW la médiane relative à [VW] coupe (BC) en Y.
    Dans le triangle UVW la médiane relative à [WU] coupe (BC) en Z.
Quelles sont les images de X,Y,Z par r ? Comment sont les côtés du triangle UVW par rapport à ceux du triangle XYZ ?
 

3°) Détermination  de k pour avoir la configuration du tableau de RAPHAËL.

a) On suppose que U est sur (XZ). Alors V est sur (XY) et W sur (YZ).
Montrer qu'alors U,V,W sont les milieux des côtés du triangle XYZ.
b) On rappelle que les points d'une droite (AC) sont les barycentres des systèmes de points pondérés  (A;x) (C;1-x) avec x dérivant R.
La configuration du tableau de Raphaël est donc obtenue si et seulement si

, ce qui équivaut à dire  que la somme des coordonnées de

dans la base  est 1.

Traduire cette condition sur k . On obtient une équation du second degré ayant une seule racine positive n. Résoudre cette équation.
c) On prend désormais k=n. Montrer que AC/AJ=phi, phi étant le nombre d'or, phi=(1+racine5)/2.
Calculer le réel x tel que:

Calculer CA/CY . Comment sont placés J et Y sur (AC) ?

Ce problème résulte d'une méditation d'un professeur de mathématiques devant ce tableau. Les particularités des grandes lignes directrices, l'idée de rotation qui s'en dégage, l'ont conduit à trouver toutes ces propriétés. Raphaël n'avait sans doute pas toute cette géométrie en tête lors de l'exécution du tableau, mais ce qui est extraordinaire , c'est qu'il puisse inspirer de telles idées !

On peut conclure que Raphaël réalise des choses difficiles avec une apparente facilité, ce qui est une preuve de génie.