Icosaèdre dessiné par Léonard de Vinci pour le De Divina Proportione de Fra Luca Pacioli.

Il est formé de 2 pentagones  A_i B_i C_i D_i E_{i ( i=1 ou 2)} décalés de 36° l'un par rapport à l'autre et parallèles, complétés par les deux points Iet J situés sur l'axe  passant par les deux centres O et O' des cercles circonscrits à ces deux pentagones. Oméga est le centre de la sphère, notons R son rayon.   
HC₂=C₂D₂=sin(36°)=(racine(10-2racine5))/4   
Donc A₁B₁=2HC₂=C₂D₂=(racine(10-2racine5))/2   
D'autre part on a : O'H=cos(36°)=(racine5+1)/2=phi/2   
O'J=JD₂-O'D₂=(10-2racine5)/4-1=(3-racine5)/2 . Donc O'J=OI=racine((3-racine5)/2)=(racine5-1)/2=1/phi   
Calculons maintenant le rayon R de la sphère.   
Soit h=OO'/2 Calculons de 2 façons R²   
h²+1=(h+(racine5-1)/2)² donc (racine5-1)h+(3-racine5)/2=1   
Donc h=1/2. Autrement dit OO'=1 : les deux pentagones sont distants de 1 le rayon de leur cercle circonscrit.   
R=1/2+O'J=1/2+(racine5-1)/2=racine5/2.   

De plus comme le montre le dessin,  l'icosaèdre est formé de 3 rectangles deux à deux orthogonaux. Ces rectangles ont pour format le nombre d'or : longueur/largeur=phi.   
L'icosaèdre est vraiment un très beau solide.   

La grande largeur de l'icosaèdre est phi fois son arête.