Icosaèdre dessiné par Léonard de Vinci pour le De Divina Proportione de Fra Luca Pacioli.

L'icosaèdre (1558) est un polyèdre limité par vingt faces. L'icosaèdre est régulier quand ses faces sont des triangles équilatéraux égaux entre eux. Il est inscriptible dans une sphère.  
Voir aussi le Dodécaèdre

Il est formé de 2 pentagones  A_i B_i C_i D_i E_{i ( i=1 ou 2)} décalés de 36° l'un par rapport à l'autre et parallèles, complétés par les deux points Iet J situés sur l'axe  passant par les deux centres O et O' des cercles circonscrits à ces deux pentagones. Oméga est le centre de la sphère, notons R son rayon.   
HC₂=C₂D₂=sin(36°)=(racine(10-2racine5))/4   
Donc A₁B₁=2HC₂=C₂D₂=(racine(10-2racine5))/2   
D'autre part on a : O'H=cos(36°)=(racine5+1)/2=phi/2   
O'J=JD₂-O'D₂=(10-2racine5)/4-1=(3-racine5)/2 . Donc O'J=OI=racine((3-racine5)/2)=(racine5-1)/2=1/phi   
Calculons maintenant le rayon R de la sphère.   
Soit h=OO'/2 Calculons de 2 façons R²   
h²+1=(h+(racine5-1)/2)² donc (racine5-1)h+(3-racine5)/2=1   
Donc h=1/2. Autrement dit OO'=1 : les deux pentagones sont distants de 1 le rayon de leur cercle circonscrit.   
R=1/2+O'J=1/2+(racine5-1)/2=racine5/2.   

De plus comme le montre le dessin,  l'icosaèdre est formé de 3 rectangles deux à deux orthogonaux. Ces rectangles ont pour format le nombre d'or : longueur/largeur=phi.   
L'icosaèdre est vraiment un très beau solide.   

La grande largeur de l'icosaèdre est phi fois son arête.