Voici les différents calculs de Un  obtenus avec une calculatrice TI-92.

 

définition de un	tableau de variation de f
représentation de un	itérés de 1 par f
tableau des valeurs de un	tableau des valeurs de un suite

F est décroissante, elle contracte l'intervalle [1;2] dans lui même, la suite des itérés de 1 par f converge vers phi.  Cette convergence est rapide. Comme f est décroissante Un prend des valeurs successivement inférieures et supérieures à phi.  u1=1 ; u2=2 ; u3=1+1/2=3/2 ; u4=1+2/3=5/3 ; u5=1+3/5=8/5 ; u6=1+5/8=13/8   On reconnait dans les numérateurs les termes de la suite de Fibonacci : 1 ; 2 ; 3 ;5 ; 8 ;13 .  En effet si Un=a/b alors Un+1=1+b/a=(a+b)/a  . Autrement dit le nouveau numérateur est la somme du numérateur précédent et du dénominateur précédent. Or le dénominateur précédent est le numérateur de la fraction située encore avant, ce qui explique la propriété.