Phi et Fibonacci

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LE  PROBLÈME : Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci , est né à Pise vers 1180 et mort vers 1250. Son père l'initie aux calculs. Cette Initiation lui fit porter un intérêt aux calculs mathématiques : il fit ses études sous la direction d'un maître arabe. En 1202 , il écrit un livre "liber abaci" qui porte sur les méthodes algébriques et des problèmes.Dans cet ouvrage, il émet l'idée que l'arithmétique et la géométrie sont liés; mais aussi il met l'accent sur les neufs symboles indous de la numération ainsi que le signe zéro. Fibonacci fut sans doute le mathématicien le plus habile de toute l'époque médiévale chrétienne.

Le problème de son livre qui a le plus inspiré les mathématiciens est le problème des lapins :
"Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de chaque mois si commençant avec un couple, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence."
Ce problème donne lieu à la suite de FIBONACCI :
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ;....
Chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent : Un = Un-1 + Un-2  .
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Nous voyons dans la colonne de droite les premiers termes de la suite de Fibonacci.  U0=1 ; U1=1 ; U2=2 ; U3=3 ; U4=5 ....
Chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent .

PROPRIÉTÉS DE LA SUITE DE FIBONACCI
 
Le rapport des termes consécutifs se rapproche du nombre d'or phi=1,618033989 .
2/1=2 ; 3/2=1,5 ; 5/3=1,666 ; 8/5=1,6 ; 13/8=1,625 ; 21/13=1,615 ; 34/21=1,619 ; 55/34=1,617 ; 89/55=1,6181818....
144/89=1,617977.. 233/144=1,61805...

On peut calculer le terme général Un de cette suite par la formule :
 

qui sont respectivement le nombre d'or et son  inverse .
 

Calculs de  u_n  avec une calculatrice TI-92

 
 

	On observe   la convergence  de  un/un-1.vers phi.