On construit la bissectrice de l' angle CBA soit BD , la hauteur du triangle ADB issue de D soit DH, la hauteur du triangle DBC issue de B soit BH.
BD est la bissectrice de l' angle ABC, donc DBC=1/2 angle(ABC)=72°/2=36°.
La somme des angles d'un triangle fait 360°. Donc l'angle(BDC)=180°-(72°+36°)=72°.
Donc angle(BDC)=angle(BCD)=72°, donc le triangle BDC est isocèle, donc BD=BC=a.
De plus angle(ABD)=angle(BAD)=36° donc le triangle ABD est isocèle donc AD=BD=BC=a.
DH est donc aussi médiatrice de AB donc AH=b/2.
AH'=a+(b-a)/2=(2a+b-a)/2=(a+b)/2
Dans le triangle AHD rectangle en H on a:
cos36°=(b/2)/a
Dans le triangle AH'B rectangle en H' on a :
cos36°=((a+b)/2)/b
Donc(b/2)/a=((a+b)/2)/b
Ce qui peut s'écrire : (a+b)/b=b/a
Donc (a+b)*a=b² ou b²-ab-a²=0 ou encore en divisant par a² : (b/a)²-b/a-1=0.
Donc b/a est solution de l'équation x²-x-1=0
On reconnaît dans x²-x le début du développement de (x-1/2)² donc cette équation s'écrit :
(x-1/2)²-1/4-1=0 . On regroupe les 2 dernières constantes et on obtient :
(x-1/2)²-5/4=0 donc (x-1/2)²=5/4
D'où x-1/2=racine (5)/2 donc x=(1+rac(5))/2 finalement x=b/a=(1+racine(5))/2=phi.
Donc un triangle ayant 2 angles de 72° a le rapport de ses cotés égal au nombre d'or.
On a aussi le calcul de cosinus36°:
cos36°=b/2a=phi/2=(1+racine(5))/4