Euclide (-365;-300) est célèbre pour son traité de géométrie :Les Éléments. Il a donné les propriétés des pentagones et des décagones réguliers. Nous trouvons déjà dans son œuvre une théorie des proportions et en particulier le partage d'un segment AC en moyenne et extrême raison. Cela signifie que l'on cherche le point B du segment AC tel que:
AC/AB=AB/AC ou encore : la longueur totale AC rapportée à la longueur du grand segment AB est dans la même proportion que celle du grand segment AB par rapport au petit BC.
A
B
C
I______________I_________I
Si
on prend AC pour unité de longueur et que l'on pose x=AB la quantité
cherchée. L'égalité qui définit B s'écrit
:
1/x=x/(1-x)
Donc en faisant le produit en croix on obtient : x²=1-x ou encore:
x²+x-1=0 En résolvant cette équation on
trouve
AB=x=1/2(-1+rac(5))
phi=AC/AB=AB/AC=1/x=1/2(1+rac(5))
=
Le
nombre d'or phi est donc :
