D'AUTRES SUITES DE FIBONACCI
En prenant pour
les deux premiers termes U0 et U1, deux nombres arbitraires
mais en conservant la même relation de récurrence
Un+1=Un+Un-1 on obtient d'autres suites de
Fibonacci.
Exemple: * 2; 4; 6;10;16; 26;
42; 68;110;178; 288; 466; 754...
C'est une suite de Fibonacci car chaque nombre
est la somme des deux nombres qui le précèdent dans la suite.
On peut observer
que les quotients se rapprochent du nombre d' or: Exemple: *
2; 4; 6;10;16; 26; 42; 68;110;178; 288; 466; 754...
C'est une suite de Fibonacci car chaque nombre
est la somme des deux nombres qui le précèdent dans la suite.
On peut observer
que les quotients se rapprochent du nombre d' or:
phi=1,618..
4/2=2 6/4=1.5 10/6=1.6 16/10=1.6
26/16=1.62518037135
42/26=1.615384615 68/42=1.619047619
68/42=1.6l 9047619 110/68=1.617647059
1220/754=1.618037135...
Autres exemples:
* 3; 6; 9; l 5; 24; 39; 63;102;165; 267...
6/3=2 9/6=1.5 15/9=1 .666666667 24/i 5=1.6
39/24=1.625...
*4;8;12;20;32;52;84;56;220;356... 8/4=2 12/8=1.5
20/12=1.6666667 32/20=1.6 52/32=1.625
84/52=1 .6153848I5...
RÉSULTAT GÉNÉRAL
Pour toute suite du
type Fibonacci symbolisée par Un+1= Un+Un-1 (Un+1 est
la somme des deux précédents ) , le rapport des termes consécutifs symbolisé par Un+1/
Un (un terme quelconque divisé par celui qui le précède ) se rapproche de phi.
Aspect géométrique de cette propriété:
*Partons d'un rectangle quelconque et ajoutons lui
le carré correspondant, puis ajoutons encore un carré au rectangle obtenu et ainsi de
suite en tournant toujours dans le même sens.
*Ce procédé permet d'obtenir des
"rectangles approchés" du rectangle d'or puisque chaque coté est la somme des
deux précédents et que la propriété des nombres ci-dessus permet d'affirmer que le
rapport de ces cotés se rapproche de phi=1,618...
Si on débute avec un carré à la place du rectangle 1, les longueurs des carrés successifs obtenus donnent la célèbre suite de Fibonacci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ... L'unité prise est le coté du carré initial.
Dans tous les cas les rectangles
successifs se rapprochent du "rectangle d'or".
De nos jours encore les artistes se préoccupent des mêmes
données mathématiques. Pour Mario Merz (né à
Milan en 1925 ), l'igloo Fibonacci est l'image de la maison primitive .On y reconnaît des
segments en proportion du nombre d'or.