Les grecs ont accordé une signification mystique aux cinq solides réguliers. Platon s'est efforcé de les rattacher aux grandes entités qui selon lui façonnaient le monde : le feu, l'eau, la terre et l'air . A la renaissance, les idées de Platon reviennent à la mode . L'astronome Képler combine les cinq polyèdres réguliers de façon à représenter les orbites des différents astres du système solaire. Il imagine onze surfaces concentriques : 6 sphères alternant avec les 5 polyèdres réguliers. A chaque sphère est associée une planète, le rayon de la sphère donne la distance moyenne de la planète au soleil. Chaque polyèdre est inscrit dans la sphère précédente et circonscrit à la sphère suivante. Les proportions du modèle de Képler correspondent à peu près à la réalité.

Entre le nombre S de sommets, F le nombre de faces, A le nombre d'arêtes on a la relation d'Euler : S+F-A=2.

Images des cinq polyèdres

 
 

Les Polyèdres et le Cosmos

 

Planètes	polyèdre associé
Vénus	octaèdre
Terre	icosaèdre
Mars	dodécaèdre
Jupiter	tétraèdre
Saturne	cube

Construction des polyèdres    Ces cinq solides platoniciens sont réunis par paires  par le principe de dualité :  Si on joint les centres des faces du cube on obtient l'octaèdre.  Si on joint les centres des faces de l'icosaédre  on  obtient le dodécaèdre et réciproquement .

L'Ecole d'Athènes  L'attrait esthétique de ces solides reste aussi vif de nos jours qu'à l'époque de Platon.  Notre intérèt pour la grande époque grecque et sa géométrie est bien illustrée par le tableau de Raphael : l'école d'Athènes.    Raphaël fait revivre dans ce tableau les grands sages de l'antiquité. Au premier plan , à gauche, Pythagore annote un gros volume, tandis qu'un enfant à ses pieds tient une tablette portant des signes d'accords musicaux. On se rappelle que Pythagore est l'auteur de traités sur l'harmonie musicale, avec une prédilection pour la gamme pentatonique. A droite, toujours au premier plan, Euclide ,entre ses disciples, s'incline pour montrer avec un compas à pointes sèches des proportions sur une figure géométrique. Derrière lui , Ptolémée, portant une couronne, tient le globe terrestre. En face de lui, Zoroastre, montre une sphère céleste. Partant du premier plan, le regard est inévitablement amené au deux figures centrales du tableau : Platon, le doigt levé vers le ciel tient le Timée , à son côté Aristote, aves l'Ethique étend son bras. A leur gauche , on reconnait Socrate en conversation avec un groupe de jeunes gens, dont Alexandre en armure. Le mouvement d'ensemble du tableau nous enmène en partant de la science des nombres et de la musique , à tavers la géométrie et l'astronomie, puis de la philosophie, vers le monde de l'harmonie cosmique.